A l'école primaire, l'objectif sera d'initier au sens de la démonstration, de créer une envie, d'installer le concept de la démonstration.
Nous retrouverons bien sûr les deux axes de définition du premier chapitre :

I- Convaincre : le besoin de montrer
Deux types de situations peuvent créer un besoin d'argumenter, d'expliciter, après la recherche de solutions en mathématiques :

se convaincre soi-même :
 Il faut profiter des résolutions de problèmes où l'élève n'a pas une totale confiance dans le véracité de sa solution, en introduisant à ces moments-là l'esprit de la démonstration. C'est la présenter aux élèves dans sa dimension historique, et lui donner tout son sens pratique. Plusieurs cas peuvent se présenter :
•la vérification de la solution est difficile (ex : comparaison d'aires complexes)
•la "construction logique" de la réponse est économique par rapport à des essais exhaustifs (ex :  toutes les combinaisons possibles...avec des pentaminos)

convaincre les autres :
 Toutes les situations où il faut parvenir à se mettre d'accord sur la validité des solutions (différentes) proposées peuvent être le support d'une initiation à la démonstration. Mais il faut pour cela que l'enseignant ne se satisfasse pas d'apporter la solution, et que la classe trouve un langage commun pour discuter les solutions. Il faut donc installer des bases sur lesquelles on ne reviendra plus (lorsqu'elles seront acceptées par tous) et apprendre à construire une argumentation cohérente à partir de là... Les élèves, les groupes, la classe va devoir montrer. Il est important pour cela que la motivation soit réelle et forte, et donc que les solutions de chacun soient défendues. Cela suppose un temps conséquent avant la discussion pour que le ou les sujets s'approprient leur réponse et se préparent à la défendre, à la justifier.
 

II- donner envie de prouver

Mais, la plupart du temps, les situations de conflit (intérieur ou social) n'entraîneront pas une réflexion suffisante pour permettre de progresser vers la démonstration : les élèves, les groupes peuvent se laisser convaincre par un raisonnement incomplet, voire erroné.
Cela demande donc une intervention extérieure : l'enseignant, dans ces moments-là, peut motiver une recherche plus approfondie en encourageant les remarques qui amènent un doute, et doit lui-même jouer le rôle de l'interlocuteur "difficile à convaincre". Il ne s'agit pas ici de tromper les élèves en leur faisant croire que l'enseignant ne comprend pas, mais cela peut faire partie des règles du jeu : l'enseignant étant celui qui présente l'exemple qui contredit (ou pas) le raisonnement, qui fait explorer toutes les voies possibles.
D'ailleurs, ce comportement artificiel, de jeu, permet d'approcher la seconde partie de la définition du premier chapitre : la démonstration vécue comme partie des mathématiques pures, est un jeu dont les règles sont fixées par les axiomes et la logique. Ceci peut bien sûr être accepté par les élèves à la condition que tout soit clair, que le comportement de l'enseignant soit sans ambiguïté, sans gêne de sa part :
"En utilisant des conventions pour purifier le matériel, nous ne faisons que retrouver le penchant naturel de l'enfant. Celui-ci, en effet, est à l'aise dans un univers de jeu dans lequel les choses et les êtres réels sont remplacés par les créatures qu'il a conçues. Ils sont ce qui a été dit d'eux. Le jeu n'est pas du tout une activité d'observation. Les enseignants ont tendance à se méfier du mot "jeu" pour une activité scolaire. Quant aux parents d'élèves, ils le poursuivent avec inquiétude. En réalité, une situation mathématique est un jeu. I1 y a quelques données avec des règles, des conventions. A partir de là, on va à la recherche de la vérité. C'est passionnant. De plus, bien que cela s'appelle jeu, c'est une étude des plus sérieuses. " (C. Hug, "L'enfant et la mathématique", (Bordas-Mouton 1968))

Il ne faut bien sûr pas oublier toutes les occasions qui se présentent à l'enseignant de prouver ce que lui affirme. Sans pouvoir exiger des élèves la même attitude, l'enseignant doit leur montrer que cette discipline a ceci de particulier, il doit exposer la construction du savoir mathématique, avoir le soin de toujours justifier les techniques en liaison avec l'opération, la formule en relation avec les propriétés. L'objectif n'est pas que les élèves apprennent ces liens par cœur, mais qu'ils prennent conscience de cet enchaînement, de cette unité, de cette cohérence.