Notations Le langage HTML étant assez limité
au niveau des notations scientifiques, je me dois de vous
définir quelques conventions d'écriture.
William Rowan Hamilton découvrit les quaternions un matin (sans doute était il beau) d'octobre 1843. C'est lui même qui décrit sa découverte dans ses mémoires. Alors qu'il marchait avec lady Hamilton sur le pont Brougham, à Dublin, celle ci lui parlait de "pensées personnelles d'une très profonde signification". Quand soudainement "le circuit galvanic de la pensée se ferma et les équations principales des quaternions se présentèrent à moi exactement comme je les utilise encore maintenant"...
Dans ce qui suit les quaternions sont présentés comme une entité algébrique indépendante. Ce n'est pas de cette façon qu'Hamilton les introduisit et les quaternions sont loin d'être une curiosité isolée du reste des mathématiques mais de cette manières les propriétés intéressantes pour nous sont plus rapidement mises en valeur.
Un quaternion est une expression quadrinomiale, dénotée par un #, de la forme
où q0, q1, q2, q3 sont des nombres réels. Les trois quantités i, j, k vérifient les relations suivantes
Notons H l'ensemble des quaternions, on peut définir une opération d'addition notée "+", une opération de multiplication, notée ".". L'addition s'apparente à l'addition vectorielle et la multiplication se fait menbre à menbre en tenant compte des règles de multiplications des quantités i, j et k . On a ainsi pour deux quaternions a# et b#,
avec
On peut facilement vérifier que (H,+,.) possède une structure d'anneau. Ceci est surtout important pour la multiplication qui n'est donc pas commutative. La multiplication par une scalaire s se fait simplement en multipliant chaque menbre q0, q1, q2 et q3 par s.
On introduit également l'opération de conjugaison, "^", définie par
et la norme | | définie par
Les éléments neutres et inverses pour les opérations + et . sont respectivment
et
On peut écrire le quaternion q# sous une forme plus compacte en identifiant les composantes q1, q2 et q3 avec celle d'un vecteur q. La dernière composante q0 est considérée comme un scalaire indépendant q. On écrit alors
En résumant, les précédentes opérations s'écrivent alors
Sous cette forme il est facile de se rendre compte que l'on peut mettre en relation R et H, ainsi que R3 et H
On appel quaternion unité un quaternion de norme 1. Dans ce cas, q#^ = q# -1. Pour tout quaternion unité q# il existe une nombre réel t et une vecteur unitaire n tels que
Ainsi, à toute rotation R(n,t), on associe le quaternion unité (cos(t/2) , n sin (t/2)). On montre alors que le produit sur H s'apparente à la composition des rotations sur R3. L'odre de la composition des rotations correspondant à l'ordre du produit des quaternions. Ainsi, si q1# et q2# représentent respectivement deux rotations R1 et R2 , le quaternion q1# . q2# va représenter la rotation R1 . R2 dans cet ordre.
Prendre la puissance d'un quaternion correspond à multiplier l'angle de rotation par cette puissance. Ceci est très intéressant car si cette puissance vaut -1, on obtient la rotation avec le quaternion conjugué (ou inverse puisque qu'ils sont identiques).
De plus, l'image v' d'un vecteur v par une rotation R (de quaternion q#) se représente en terme de quaternion simplement par